Fig 2 - Velocity and vorticity field plot of the Kármán vortex street (Re = 200) at t = 200 from PINN. Figure adopted from Chuang et al. (2022) 同时，PINN对于某些特定的变量的敏感度是非常高的，比如N-S里的压强场比流速场更容易错位，这种情况可能归结于压强在神经网络里是一个隐藏变量 (latent variable). 所以在施加边界条件的. PINNs将物理定律集成到深度学习框架内的神经网络中，使用自动微分技术，并且即使在缺乏或不存在可观测数据的情况下也能表现良好。 然而，基于自动微分的PINNs在通过链式规则进行反向传播时会生成许多大型张量，导致处理大规模问题时训练开销过大。 【论文1】Fourier Domain Physics-Informed Neural Network for Ultrafast Optical Pulse Propagation 1. 研究方法 该论文提出 连续频域PINN（CFD-PINN），用于求解 广义脉冲传播方程（GPPE），该方程为描述 飞秒级非线性光纤中脉冲演化 的偏积分-微分方程（PIDE）。CFD-PINN通过将 非线性响应中的卷积项 转换至 傅里叶域 处理.
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因此还有许多问题需要进一步探讨： (1) 给定 NPDE 的梯度波动与相应 PINNs方法的梯度动力学之间的关系是什么？ (2) 如何有效地减少这些梯度波动（例如，通过选择不同的损失函数、更有效的神经网络架构等）？
当然，这里的PINNs是更大范畴的Informed ML框架下的一种，因为我们不仅或者有时候无法有直接的方程本身来作为约束，可以考虑其它的物理量或者prior knowledge。 关于这个PINN及其一些variants的内容推荐阅读我在另一个问题中的回答。 3 Neural operator方法，比如DeepONet和.
在尝试用PINNs框架做Burgers方程正问题的过程中，碰到了一个奇怪的问题，特此记录。 仿照开源代码的思路搭建了一个能跑通的PINNs框架，用于求解无数据的Burgers方程初边值问题，训练Loss下降到1e-2这个level就趋近于收敛，如图1： 物理驱动的神经网络（PINNs）最早于2017年提出 [3,4]，用于正问题、逆问题和混合问题的求解，从那时起，这一领域也取得了快速发展 [5–13]。 然而，与图像处理、语音识别和自然语言处理领域的应用相比，科学与工程应用中的成就尚显有限。 把神经网络和流体力学结合起来，关键在于让机器学习“懂”物理规律，同时利用数据的优势。比如，物理信息神经网络（PINNs）就是个很好的例子，它把流体力学的方程直接嵌入到神经网络里，让模型在学习数据的同时，还能保证结果符合物理定律。这样一来，即使数据少，也能准确预测复杂的流.
