始终保持好奇 (ノ๑`ȏ´๑)ノ︵⌨ 收录于 · 数学杂记 (待整理) 先问是不是 如 e x 2 泰勒展开，答案上直接把 x 2 带入 e x 的麦克劳林展开；但是如果对复合函数按定义一步一步求导，算出来书上的答案是错的 (题主问题详情) 很明显，题主推导过程出错了。 为什么要考察麦克劳林级数的收敛域？ 或者说考察麦克劳林级数收敛域的意义是什么？ 关注者 2 被浏览 麦克劳林级数 (Maclaurin's series)是泰勒级数 (Taylor's series)的 特殊情况，即当a=0时，f (x)的展开式。 这类公式不需要特意去背诵，它很长，也很容易记混。最好的办法就是自己尝试推导。
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麦克劳林级数是泰勒级数在 x 0 = 0 处展开的特殊形式，其表达式为： f (x) = ∑ n = 0 ∞ 1 n! f (n) (0) x n (| x | <r) 虽然麦克劳林公式是在0处展开但是并不是说其只可用于 x 0 = 0 的邻域范围，楼主之所以会产生麦克劳林公式只可用于 x 0 = 0 的错觉可能是在求极限的过程中习惯性用麦克劳林公式的常数项+一.
欧拉-麦克劳林公式的余项 \ (R_m\) 通常与高阶导数相关，对于 \ (f (x) = \frac {1} {x}\)，余项会随着 \ (m\) 的增大而减小。 需要注意的是，虽然渐近展开提供了高阶近似，但级数本身是发散的，因此实际计算中通常截断到有限项。
你还有什么不懂得，拿个题讲可能更容易懂。 我说的x趋于0才能使用是说极限式里面的x趋于0，然后你可以用麦克劳林公式做展开，而且必须是x＝0处展开，泰勒实际上就是高级的等价无穷小替换，如果说展开的高阶小o (x)不是趋于0的，那就错了。 以下是通过欧拉-麦克劳林公式处理发散级数的基本步骤和原理： 欧拉-麦克劳林公式简介：这个公式提供了一种方法，将一个函数在区间 [0, n]上的积分与该函数在n个离散点上的值以及函数的导数的离散求和之间的关系表达出来。 可以发现当x趋于x0时，Rn会趋于0，这就代表麦克劳林级数x趋于0时得到的结果是和原函数误差较小的，但是我们可以发现误差同样也取决于分母n+1的阶乘，当展开阶数足够高，那么也可以使得Rn误差较小！ 此时就不必使得x再趋于0。
